AsReaderのiOS10の対応について社内で検証をしておりましたが、AsReader本体（ファームウェアを含む）に問題はございません。
iOS10では以下のとおりiOSの仕様が変更されておりますのでご注意ください。

■ iOS10でのご利用に関して
iOS9まではAsReader用のアプリの設定としてUIBackgroundModesの”external-accessory”プロパティを登録することを推奨しておりました。
iOS9まではこの設定でもアプリがバックグラウンドで起動することはありませんでしたが、iOS10ではアプリがバックグラウンドで自動的に起動します。
AsReaderの最新のSDKではバックグラウンドでのAsReaderの接続を許可しておりませんので、バックグラウンドのアプリからAsReaderとの接続は行なわれませんが、アプリはバックグラウンドで起動してしまう為、アプリのロジック次第で問題が発生する可能性があります。
iOS10でAsReaderをご利用の場合はUIBackgroundModesの”external-accessory”プロパティを登録しないことを推奨します。